10) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Пусть половина данной диагонали равна:

\(AO=\frac{76}{2}=38\).

Диагонали ромба перпендикулярны. Обозначим половину второй диагонали через \(BO=x\). Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно 19.

Площадь ромба можно выразить через диагонали и через сторону:

\(S=\frac{76\cdot2x}{2}=76x\).

Также \(S=pr\), где полупериметр \(p=2\sqrt{38^2+x^2}\), а \(r=19\):

\(76x=2\sqrt{38^2+x^2}\cdot19\).

После сокращения:

\(2x=\sqrt{38^2+x^2}\).

\(4x^2=1444+x^2\), поэтому \(3x^2=1444\).

Следовательно, \(x=\frac{38}{\sqrt3}\).

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей,

\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{38}=\frac1{\sqrt3}\).

Значит, \(\frac{\alpha}{2}=30^\circ\), поэтому \(\alpha=60^\circ\). Второй угол ромба supplementary к нему:

\(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Ответ: 60° и 120°.