10. Решить систему методом Гаусса: 2x₁ + 7x₂ + 2x₃ = 9; −x₁ + x₂ = 2; x₁ + 3x₂ + x₃ = 4.

Запишем расширенную матрицу. Применяем преобразования строк, не меняющие решения:

\[\begin{bmatrix}2&7&2&|&9\\-1&1&0&|&2\\1&3&1&|&4\end{bmatrix}\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2,\ R_1\to-R_1,\ R_2\to R_2-2R_1,\ R_3\to R_3-R_1}\begin{bmatrix}1&-1&0&|&-2\\0&9&2&|&13\\0&4&1&|&6\end{bmatrix}\]

Устраним второй элемент третьей строки: \(R_3\to9R_3-4R_2\). Получим \(\begin{bmatrix}1&-1&0&|&-2\\0&9&2&|&13\\0&0&1&|&2\end{bmatrix}\).

Обратный ход: \(x_3=2\); из второй строки \(9x_2+4=13\), значит \(x_2=1\); из первой \(x_1-x_2=-2\), значит \(x_1=-1\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(-1,1,2)\).