15. Решить систему методом Гаусса: 2x₁ + 3x₂ + x₃ = 6; 2x₁ − x₃ = 1; −x₁ + x₂ + x₃ = 1.

Поменяем вторую и первую строки местами и исключим переменную \(x_3\) из остальных строк:

\[\begin{bmatrix}2&0&-1&|&1\\2&3&1&|&6\\-1&1&1&|&1\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2\to R_2-R_1,\ R_3\to2R_3+R_1}\begin{bmatrix}2&0&-1&|&1\\0&3&2&|&5\\0&2&1&|&3\end{bmatrix}\]

Вычтем из второй строки удвоенную третью: \(R_2\to R_2-2R_3\). Получим \(\begin{bmatrix}2&0&-1&|&1\\0&-1&0&|&-1\\0&2&1&|&3\end{bmatrix}\).

Отсюда \(x_2=1\), \(x_3=1\), а первая строка даёт \(2x_1-1=1\), поэтому \(x_1=1\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(1,1,1)\).