14. Решить систему методом Гаусса: 2x₁ + 5x₂ + x₃ = 9; 3x₁ − x₂ − x₃ = 0; −2x₁ + 2x₂ + x₃ = 2.

Сложим первую и третью строки, чтобы исключить \(x_1\), затем используем вторую строку как первую:

\[\begin{bmatrix}2&5&1&|&9\\3&-1&-1&|&0\\-2&2&1&|&2\end{bmatrix}\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2,\ R_3\to R_3+R_1,\ R_2\to R_2+R_3}\begin{bmatrix}3&-1&-1&|&0\\3&7&2&|&11\\1&4&0&|&9\end{bmatrix}\]

Удобнее продолжить исключение из исходной системы: сложение первого и третьего уравнений даёт \(7x_2+2x_3=11\), а второе вместе с первым уравнением после подстановки \(x_3=3x_1-x_2\) даёт \(5x_1+4x_2=9\). Из третьего уравнения следует \(x_1+x_2=2\). Решая эти два уравнения, получаем \(x_1=1,\ x_2=1\); подстановка во второе даёт \(x_3=2\).

Проверка: \(2+5+2=9\), \(3-1-2=0\), \(-2+2+2=2\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(1,1,2)\).