12. Решить систему методом Гаусса: 3x₁ − 2x₂ = −1; x₁ + 3x₂ + x₃ = 9; 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 8.

Поменяем местами первые две строки, затем исключим переменные:

\[\begin{bmatrix}1&3&1&|&9\\3&-2&0&|&-1\\2&2&1&|&8\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2\to R_2-3R_1,\ R_3\to R_3-2R_1}\begin{bmatrix}1&3&1&|&9\\0&-11&-3&|&-28\\0&-4&-1&|&-10\end{bmatrix}\]

Применим \(R_3\to11R_3-4R_2\): получим \(\begin{bmatrix}1&3&1&|&9\\0&-11&-3&|&-28\\0&0&1&|&2\end{bmatrix}\).

Обратный ход: \(x_3=2\); из второй строки \(-11x_2-6=-28\), откуда \(x_2=2\); из первой \(x_1+6+2=9\), откуда \(x_1=1\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3)=(1,2,2)\).