10. Решить уравнение \(1/4 \cdot 4^x\)^x = 2^(2x+6).

Решение:

Упростим левую часть уравнения:

\( \left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = \left(4^{-1} \cdot 4^x\right)^x = \left(4^{x-1}\right)^x = 4^{x(x-1)} \)

Теперь приведем обе части к основанию 2:

\( 4^{x^2-x} = (2^2)^{x^2-x} = 2^{2(x^2-x)} = 2^{2x^2-2x} \)

Правая часть уравнения:

\( 2^{2x+6} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( 2x^2 - 2x = 2x + 6 \)

\( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Ответ: \( x = 3, x = -1 \)