8. Решить уравнение 25^x + 3 \(\cdot\) 5^x + 2 = 0.

Решение:

Заметим, что \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \). Сделаем замену переменной \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 3y + 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его:

\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

\( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 5^x \):

1. \( 5^x = -1 \). Показательная функция \( 5^x \) всегда больше нуля, поэтому это уравнение не имеет решений.
2. \( 5^x = -2 \). Аналогично, это уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет