6. Решить уравнение 4^(x-3) + 4^x = 65.

Решение:

Вынесем общий множитель \( 4^x \) за скобки:

\( 4^x \cdot 4^{-3} + 4^x = 65 \)

\( 4^x \left(\frac{1}{4^3} + 1\right) = 65 \)

\( 4^x \left(\frac{1}{64} + 1\right) = 65 \)

\( 4^x \left(\frac{1+64}{64}\right) = 65 \)

\( 4^x \cdot \frac{65}{64} = 65 \)

\( 4^x = 65 \cdot \frac{64}{65} \)

\( 4^x = 64 \)

Перепишем 64 как степень 4:

\( 4^x = 4^3 \)

\( x = 3 \)

Ответ: \( x = 3 \)