11. Решить уравнение 3 $\cdot$ 4^x - 11 $\cdot$ 2^x = 4.

Question

$Фото задания: 11. Решить уравнение 3 $\cdot$ 4^x - 11 $\cdot$ 2^x = 4.$ Фото задания

Accepted Answer

Заметим, что $ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $. Сделаем замену переменной $ y = 2^x $. Тогда уравнение примет вид:

$ 3y^2 - 11y - 4 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его:

$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 $

$ y_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4 $

$ y_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Теперь вернемся к замене $ y = 2^x $:

$ 2^x = 4 $ $ \Rightarrow $ $ 2^x = 2^2 $ $ \Rightarrow $ $ x = 2 $.
$ 2^x = -\frac{1}{3} $. Показательная функция $ 2^x $ всегда больше нуля, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: $ x = 2 $

11. Решить уравнение 3 \(\cdot\) 4^x - 11 \(\cdot\) 2^x = 4.