10. Решите уравнение: 12^x - 8*6^x + 12*3^x = 0.

10. Решите уравнение:

\( 12^x - 8 \cdot 6^x + 12 \cdot 3^x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( 3^x \) (так как \( 3^x \) никогда не равно нулю):

\( \frac{12^x}{3^x} - 8 \frac{6^x}{3^x} + 12 \frac{3^x}{3^x} = 0 \)

\( \left(\frac{12}{3}\right)^x - 8 \left(\frac{6}{3}\right)^x + 12 \cdot 1 = 0 \)

\( 4^x - 8 \cdot 2^x + 12 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2 \).

Получим квадратное уравнение относительно \( y \):

\( y^2 - 8y + 12 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения:

\( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \)

\( y_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1. \( 2^x = y_1 = 2 \)

\( 2^x = 2^1 \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 \).

2. \( 2^x = y_2 = 6 \)

\( x = \log_2 6 \)

Ответ: \( x=1, x=\log_2 6 \).