11. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = -x³ + 3x² - 2

11. Исследование функции и построение графика:

1. Область определения:

Функция задана для всех действительных чисел, \( D(y) = (-\infty;+\infty) \).

2. Чётность/нечётность:

\( y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x)^2 - 2 = x^3 + 3x^2 - 2 \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: \( x = 0 \)
\( y(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2 \). Точка пересечения: \( (0; -2) \).

С осью Ox: \( y = 0 \)
\( -x^3 + 3x^2 - 2 = 0 \)
\( x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \)
Подберём целый корень. Если \( x=1 \), то \( 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Значит, \( x=1 \) — корень.

Разделим многочлен \( x^3 - 3x^2 + 2 \) на \( (x-1) \):

   x³ - 3x² + 0x + 2 | x - 1
 - (x³ - x²)      | x² - 2x - 2
   ----------------
        -2x² + 0x
      - (-2x² + 2x)
      -------------
             -2x + 2
           - (-2x + 2)
           -----------
                  0

Получаем \( (x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0 \).

Теперь решим \( x^2 - 2x - 2 = 0 \):

\( D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12 \)
\( x = \frac{2 ± \sqrt{12}}{2} = \frac{2 ± 2\sqrt{3}}{2} = 1 ± \sqrt{3} \).

Точки пересечения с осью Ox: \( (1; 0) \), \( (1+\sqrt{3}; 0) \) (примерно \( (2.73; 0) \)), \( (1-\sqrt{3}; 0) \) (примерно \( (-0.73; 0) \)).

4. Производная и экстремумы:

\( y' = -3x^2 + 6x \)

Приравняем производную к нулю:

\( -3x^2 + 6x = 0 \)
\( -3x(x - 2) = 0 \)
\( x_1 = 0 \) (точка максимума), \( x_2 = 2 \) (точка минимума).

Найдем значения функции в точках экстремума:

\( y(0) = -2 \)

\( y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2 \).

Точки экстремума: \( (0; -2) \) — максимум, \( (2; 2) \) — минимум.

5. Интервалы возрастания и убывания:

\( y' > 0 \) при \( -3x(x-2) > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x · (x-2) < 0 \) \(\Rightarrow\) \( 0 < x < 2 \) — функция возрастает.

\( y' < 0 \) при \( x < 0 \) или \( x > 2 \) — функция убывает.

6. Построение графика:

Отметим точки пересечения с осями и точки экстремума. Учитывая интервалы возрастания/убывания, построим график.

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и \( (2;+\infty) \), возрастает на \( (0; 2) \). Максимум в точке \( (0; -2) \), минимум в точке \( (2; 2) \). График построен.