10. Решите уравнение: 2cos(3x - π/4) = -√2

Решение:

Сначала упростим уравнение, разделив обе части на 2:

\[ \cos(3x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Уравнение вида \( \cos(y) = a \) имеет решения, когда \( a \) находится в диапазоне \( [-1, 1] \). В данном случае \( a = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), что удовлетворяет условию.

Мы знаем, что \( \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение для \( \cos(y) = a \) имеет вид \( y = \pm \arccos(a) + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

В нашем случае \( y = 3x - \frac{\pi}{4} \), а \( \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} \).

Следовательно, получаем два случая:

Случай 1:

\[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 3x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 3x = \pi + 2\pi k \]

\[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \]

Случай 2:

\[ 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 3x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 3x = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi k \]

\[ 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \) — любое целое число.