8. Вычислите определенный интеграл: ∫(3x² + 2x - 7) dx от 1 до 2

Решение:

Сначала найдем первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 + 2x - 7 \):

\[ F(x) = \int (3x^2 + 2x - 7) dx = 3 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} - 7x + C = x^3 + x^2 - 7x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( a=1 \) и \( b=2 \):

\[ \int_1^2 (3x^2 + 2x - 7) dx = [x^3 + x^2 - 7x]_1^2 \]

Подставим верхний предел (2):

\[ F(2) = 2^3 + 2^2 - 7 \cdot 2 = 8 + 4 - 14 = -2 \]

Подставим нижний предел (1):

\[ F(1) = 1^3 + 1^2 - 7 \cdot 1 = 1 + 1 - 7 = -5 \]

Вычислим разность:

\[ F(2) - F(1) = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3 \]

Ответ: 3.