№10. Решите уравнение: √2sin(3π/2 + x) · cos(3π/2 - x) = cosx

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими формулами приведения:

• \( \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x \)
• \( \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin x \)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ \sqrt{2} \cdot (-\cos x) \cdot (-\sin x) = \cos x \] \[ \sqrt{2} \sin x \cos x = \cos x \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ \sqrt{2} \sin x \cos x - \cos x = 0 \]

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. Случай 1: \( \cos x = 0 \)
• Это происходит, когда \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Случай 2: \( \sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \)
• \( \sqrt{2} \sin x = 1 \)
• \( \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Это происходит, когда \( x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \), \( x = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).