№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S(t) = \(\frac{1}{3}\)t³ + 2t² + 2. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3с, если S – путь (м), t – время (с).

Решение:

Скорость \(v(t)\) — это первая производная пути по времени \(S'(t)\). Ускорение \(a(t)\) — это первая производная скорости по времени \(v'(t)\) или вторая производная пути \(S''(t)\).

1. Найдем скорость \(v(t)\): \[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 2 \right) \] \[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 2 \cdot 2t + 0 \] \[ v(t) = t^2 + 4t \]
2. Найдем ускорение \(a(t)\): \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + 4t) \] \[ a(t) = 2t + 4 \]
3. Подставим \(t = 3 \) с в выражения для скорости и ускорения:
• Скорость в момент \(t = 3 \) с: \[ v(3) = (3)^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21 \] м/с.
• Ускорение в момент \(t = 3 \) с: \[ a(3) = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10 \] м/с².

Ответ: Скорость равна 21 м/с, ускорение равно 10 м/с².