№9. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 16, cosA = \( \frac{2\sqrt{7}}{7} \). Найдите высоту СН.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник ABC — равнобедренный. Высота СН в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию AB, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка Н является серединой отрезка AB, и \( AH = HB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} · 16 = 8 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. У нас есть \( AH = 8 \) и \( \cos A = \frac{2\sqrt{7}}{7} \).

1. Найдем длину стороны AC, используя косинус угла A в прямоугольном треугольнике AHC: \[ \cos A = \frac{AH}{AC} \] \[ AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{8}{\frac{2\sqrt{7}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{2\sqrt{7}} = \frac{56}{2\sqrt{7}} = \frac{28}{\sqrt{7}} = \frac{28\sqrt{7}}{7} = 4\sqrt{7} \]
2. Теперь найдем высоту CH, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AHC: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] \[ CH^2 = AC^2 - AH^2 \] \[ CH^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 \] \[ CH^2 = (16 \cdot 7) - 64 \] \[ CH^2 = 112 - 64 \] \[ CH^2 = 48 \] \[ CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \]

Ответ: \(4\sqrt{3}\).