№10. Решите уравнение: 2sin²x + 5sin(3π/2 - x) - 2 = 0

Решение:

1. Используем тригонометрическое тождество для синуса разности углов: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
2. В нашем случае \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \) и \( \beta = x \).
   \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cos x - \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \sin x \).
3. Известно, что \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \) и \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \).
4. Следовательно, \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = (-1) \cos x - (0) \sin x = -\cos x \).
5. Подставим это в исходное уравнение:
   \( 2\sin^2 x + 5(-\cos x) - 2 = 0 \).
6. \( 2\sin^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
7. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
8. Подставим его в уравнение:
   \( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 2 = 0 \).
9. \( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
10. \( -2\cos^2 x - 5\cos x = 0 \).
11. Умножим на -1:
    \( 2\cos^2 x + 5\cos x = 0 \).
12. Вынесем \( \cos x \) за скобки:
    \( \cos x (2\cos x + 5) = 0 \).
13. Это уравнение распадается на два случая:
    Случай 1: \( \cos x = 0 \).
    Решения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
    Случай 2: \( 2\cos x + 5 = 0 \).
    \( 2\cos x = -5 \).
    \( \cos x = -\frac{5}{2} \).
    Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса находится в диапазоне \( [-1; 1] \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).