№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S(t) = 1/3t³ + 4t² + 1. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=4c, если S – путь (м), t – время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути по времени, а ускорение \( a(t) \) — вторая производная от пути по времени (или первая производная от скорости).

1. Найдем скорость: \( v(t) = S'(t) \).
   \( v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 + 4t^2 + 1 \right) \)
   \( v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 2t + 0 \)
   \( v(t) = t^2 + 8t \)
2. Найдем ускорение: \( a(t) = v'(t) \).
   \( a(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + 8t) \)
   \( a(t) = 2t + 8 \)
3. Вычислим скорость в момент времени \( t = 4 \) с:
   \( v(4) = 4^2 + 8 \cdot 4 = 16 + 32 = 48 \) м/с.
4. Вычислим ускорение в момент времени \( t = 4 \) с:
   \( a(4) = 2 \cdot 4 + 8 = 8 + 8 = 16 \) м/с².

Ответ: Скорость \( 48 \) м/с, ускорение \( 16 \) м/с².