№8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SB = 13, АС = 24. Найдите длину отрезка SO.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основание ABCD — квадрат, а боковые ребра равны. Точка О — центр основания, значит, O является точкой пересечения диагоналей квадрата.

1. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Так как \( AC = 24 \), то \( AO = OC = \frac{24}{2} = 12 \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SOC \). В этом треугольнике \( SC \) — гипотенуза (боковое ребро), \( OC \) — катет (половина диагонали основания), а \( SO \) — высота пирамиды (искомый отрезок).
3. По теореме Пифагора: \( SO^2 + OC^2 = SC^2 \).
4. Подставим известные значения: \( SO^2 + 12^2 = 13^2 \).
5. \( SO^2 + 144 = 169 \).
6. \( SO^2 = 169 - 144 \).
7. \( SO^2 = 25 \).
8. \( SO = \sqrt{25} = 5 \).

Ответ: 5