№10. Решите уравнение: 2sin2x + 5sin(3π/2-x)-2=0

Решение:

Уравнение: \( 2\sin^2{x} + 5\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)}-2=0 \).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством для \( \sin{\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)} \). При \( \frac{3\pi}{2} \) происходит смена функции на кофункцию, и знак определяется в III четверти (где синус отрицательный), поэтому:

\( \sin{\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)} = -\cos{x} \).

Подставим это в уравнение:

\( 2\sin^2{x} + 5(-\cos{x}) - 2 = 0 \)

\( 2\sin^2{x} - 5\cos{x} - 2 = 0 \).

Заменим \( \sin^2{x} \) через \( 1 - \cos^2{x} \):

\( 2(1 - \cos^2{x}) - 5\cos{x} - 2 = 0 \)

\( 2 - 2\cos^2{x} - 5\cos{x} - 2 = 0 \)

\( -2\cos^2{x} - 5\cos{x} = 0 \)

Умножим на -1:

\( 2\cos^2{x} + 5\cos{x} = 0 \).

Вынесем \( \cos{x} \) за скобки:

\( \cos{x}(2\cos{x} + 5) = 0 \).

Получаем два случая:

1. \( \cos{x} = 0 \)

Это соответствует \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( 2\cos{x} + 5 = 0 \)

\( 2\cos{x} = -5 \)

\( \cos{x} = -\frac{5}{2} \).

Так как значение косинуса не может быть меньше -1 и больше 1, это уравнение не имеет решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).