№9. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 12, cosB = 2√21/21. Найдите высоту СН.

Решение:

В треугольнике \( \triangle ABC \) \( AC = BC \), значит, он равнобедренный. \( AB \) — основание.

Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Поэтому \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CBH \). В нем:

• Гипотенуза \( CB = AC \)
• Катет \( HB = 6 \)
• Катет \( CH \) — высота, которую нужно найти.
• \( \cos B = \frac{2\sqrt{21}}{21} \)

В прямоугольном треугольнике \( \triangle CBH \) имеем:

\( \cos B = \frac{HB}{CB} \)

\( \frac{2\sqrt{21}}{21} = \frac{6}{CB} \)

Выразим \( CB \):

\( CB = \frac{6 \cdot 21}{2\sqrt{21}} = \frac{126}{2\sqrt{21}} = \frac{63}{\sqrt{21}} = \frac{63\sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \).

Теперь найдем высоту \( CH \) по теореме Пифагора в \( \triangle CBH \):

\( CH^2 + HB^2 = CB^2 \)

\( CH^2 + 6^2 = (3\sqrt{21})^2 \)

\( CH^2 + 36 = 9 \cdot 21 \)

\( CH^2 + 36 = 189 \)

\( CH^2 = 189 - 36 \)

\( CH^2 = 153 \)

\( CH = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17} \).

Ответ: \( 3\sqrt{17} \).