10. Решите уравнение: а) \(\log_4(2\cdot4^x-1)=2x\); б) \(\log_2(9-2^x)=3-x\).

а) Область определения: \(2\cdot4^x-1>0\). Представим правую часть как \(2x=\log_4 4^{2x}\). Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, равны их аргументы:

\(2\cdot4^x-1=4^{2x}\). Пусть \(y=4^x>0\). Тогда \(2y-1=y^2\), то есть \((y-1)^2=0\). Поэтому \(y=1\), а \(x=0\).

б) Область определения: \(9-2^x>0\). Представим \(3-x=\log_2 8-\log_2 2^x=\log_2\frac8{2^x}\). Приравниваем аргументы:

\(9-2^x=\frac8{2^x}\). Обозначив \(y=2^x>0\), получаем \(y(9-y)=8\), то есть \((y-1)(y-8)=0\). Значит, \(y=1\) или \(y=8\), откуда \(x=0\) или \(x=3\). Оба значения допустимы.

Ответ: а) 0; б) 0, 3.