8. Решите уравнение: а) $6\log_8x+\log_{\frac12}x=4$; б) $1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$; в) $\log_{25}x+\log_5x=\log_{\frac15}\sqrt8$; г) $\log_2x-8\log_{x^2}2=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Решите уравнение: а) $6\log_8x+\log_{\frac12}x=4$; б) $1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$; в)…$ Фото задания

8. Решите уравнение: а) $6\log_8x+\log_{\frac12}x=4$; б) $1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$; в) $\log_{25}x+\log_5x=\log_{\frac15}\sqrt8$; г) $\log_2x-8\log_{x^2}2=3$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\log_2x$. Тогда $\log_8x=\frac{t}{3}$, $\log_{1/2}x=-t$.

$6\cdot\frac{t}{3}-t=4$, поэтому $t=4$ и $x=2^4=16$.

б) Область определения: $x>-2$, $x\ne-1$. Обозначим $y=\log_{x+2}5$, тогда $\log_5(x+2)=\frac1y$.

Из $1+2y=\frac1y$ получаем $2y^2+y-1=0$, откуда $y=\frac12$ или $y=-1$. В первом случае $x+2=25$, то есть $x=23$; во втором $x+2=\frac15$, то есть $x=-\frac95$. Оба корня допустимы.

в) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\log_5x$. Тогда $\log_{25}x=\frac12t$, а $\log_{1/5}\sqrt8=-\frac32\log_5 2$.

Получаем $\frac32t=-\frac32\log_5 2$, значит, $t=-\log_5 2$. Следовательно, $x=\frac12$.

г) Область определения: $x>0$, $x\ne1$. Пусть $t=\log_2x$, тогда $\log_{x^2}2=\frac{1}{2t}$.

$t-\frac4t=3$. Умножая на $t\ne0$, получаем $t^2-3t-4=0$, то есть $(t-4)(t+1)=0$. Значит, $x=16$ или $x=\frac12$.

Ответ: а) 16; б) 23, $-\frac95$; в) $\frac12$; г) 16, $\frac12$.

8. Решите уравнение: а) \(6\log_8x+\log_{\frac12}x=4\); б) \(1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)\); в) \(\log_{25}x+\log_5x=\log_{\frac15}\sqrt8\); г) \(\log_2x-8\log_{x^2}2=3\).

Ответ: