6. Решите уравнение: а) $\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3$; б) $\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1$; в) $\log_{0,5}\frac{1}{x}+8\log_{0,25}\sqrt[3]{x}=-1$; г) $\lg(100x)\lg(0,001x)+4=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Решите уравнение: а) $\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3$; б) $\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Обозначим $t=\log_4x$. Тогда $\log_4\frac{1}{x^2}=-2t$, а $\log_4\sqrt{x}=\frac12t$.

$-2t+\frac12t=-3$, откуда $t=2$. Следовательно, $x=4^2=16$.

б) Область определения: $x>0{,}8$, $x\ne1$. Умножим на знаменатель и объединим логарифмы: $2\lg x=\lg(5x-4)$, поэтому $\lg x^2=\lg(5x-4)$.

$x^2=5x-4$, то есть $(x-1)(x-4)=0$. Корень $x=1$ не подходит: при нём знаменатель равен нулю. Остаётся $x=4$.

в) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\log_2x$. Тогда $\log_{0,5}\frac1x=t$, а $\log_{0,25}\sqrt[3]{x}=-\frac16t$.

$t+8\left(-\frac16t\right)=-1$, откуда $-\frac13t=-1$, $t=3$. Значит, $x=2^3=8$.

г) Пусть $t=\lg x$, где $x>0$. Тогда $\lg(100x)=t+2$, $\lg(0,001x)=t-3$.

$(t+2)(t-3)+4=0$, то есть $t^2-t-2=0$. Отсюда $t=2$ или $t=-1$, поэтому $x=100$ или $x=0,1$.

Ответ: а) 16; б) 4; в) 8; г) 100; 0,1.

6. Решите уравнение: а) \(\log_4\frac{1}{x^2}+\log_4\sqrt{x}=-3\); б) \(\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1\); в) \(\log_{0,5}\frac{1}{x}+8\log_{0,25}\sqrt[3]{x}=-1\); г) \(\lg(100x)\lg(0,001x)+4=0\).