7. Решите уравнение: а) $\log_5^2 x-2\log_5 x^2+4=0$; б) $\log_{0,5}(2x-3)-\frac12\log_{0,5}(2x+3)=0$; в) $\lg^2x-6\lg\sqrt{x}=\frac23\lg x^3-4$; г) $2\log_4(4-x)=4-\log_2(-x-2)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Решите уравнение: а) $\log_5^2 x-2\log_5 x^2+4=0$; б) $\log_{0,5}(2x-3)-\frac12\log_{0,5}(2x+3)=0$; в)…$ Фото задания

7. Решите уравнение: а) $\log_5^2 x-2\log_5 x^2+4=0$; б) $\log_{0,5}(2x-3)-\frac12\log_{0,5}(2x+3)=0$; в) $\lg^2x-6\lg\sqrt{x}=\frac23\lg x^3-4$; г) $2\log_4(4-x)=4-\log_2(-x-2)$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Обозначим $t=\log_5x$; тогда $\log_5x^2=2t$.

$t^2-4t+4=0$, то есть $(t-2)^2=0$. Поэтому $t=2$, $x=25$.

б) Область определения: $x>\frac32$. Объединим логарифмы: $\log_{0,5}\frac{2x-3}{\sqrt{2x+3}}=0$. Значит, $\frac{2x-3}{\sqrt{2x+3}}=1$.

С учётом области определения можно возвести в квадрат: $(2x-3)^2=2x+3$. Получаем $2x^2-7x+3=0$, откуда $x=3$ или $x=\frac12$. Условию области определения удовлетворяет только $x=3$.

в) Область определения: $x>0$. Пусть $t=\lg x$. Тогда $\lg\sqrt{x}=\frac12t$, $\lg x^3=3t$.

$t^2-3t=2t-4$, поэтому $t^2-5t+4=0$. Отсюда $t=1$ или $t=4$, значит, $x=10$ или $x=10000$.

г) Область определения: $-2<x<4$. Поскольку $2\log_4(4-x)=\log_2(4-x)$, уравнение принимает вид $\log_2(4-x)+\log_2(-x-2)=4$.

Тогда $(4-x)(-x-2)=16$, откуда $x^2-2x-24=0$. Корни: $x=6$ и $x=-4$; ни один не принадлежит области определения. Решений нет.

Ответ: а) 25; б) 3; в) 10, 10000; г) решений нет.

7. Решите уравнение: а) \(\log_5^2 x-2\log_5 x^2+4=0\); б) \(\log_{0,5}(2x-3)-\frac12\log_{0,5}(2x+3)=0\); в) \(\lg^2x-6\lg\sqrt{x}=\frac23\lg x^3-4\); г) \(2\log_4(4-x)=4-\log_2(-x-2)\).

Ответ: