9. Решите уравнение: а) $9^{\log_3(1-2x)}=5x^2-5$; б) $x^{\lg x}=100x$; в) $\log_4 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt2}2}$; г) $x^{1+\lg x}=10x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Решите уравнение: а) $9^{\log_3(1-2x)}=5x^2-5$; б) $x^{\lg x}=100x$; в) $\log_4 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt2}2}$; г)…$ Фото задания

9. Решите уравнение: а) $9^{\log_3(1-2x)}=5x^2-5$; б) $x^{\lg x}=100x$; в) $\log_4 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt2}2}$; г) $x^{1+\lg x}=10x$.

Accepted Answer

а) Область определения: $1-2x>0$, то есть $x<\frac12$. Так как $9=3^2$, левая часть равна $(1-2x)^2$.

$(1-2x)^2=5x^2-5$, откуда $x^2+4x-6=0$. Корни $x=-2\pm\sqrt{10}$; условию области определения удовлетворяет только $x=-2-\sqrt{10}$.

б) Область определения: $x>0$. Делим на $x$: $x^{\lg x-1}=100$. Пусть $t=\lg x$. Тогда $10^{t(t-1)}=10^2$, значит, $t^2-t-2=0$. Отсюда $t=2$ или $t=-1$, поэтому $x=100$ или $x=0,1$.

в) $\log_4 2^{4x}=2x$, поскольку $\log_4 2=\frac12$. Кроме того, $\log_{\sqrt2}2=2$, поэтому правая часть равна $2^2=4$.

Тогда $2x=4$, откуда $x=2$.

г) Область определения: $x>0$. Делим обе части на $x$: $x^{\lg x}=10$. При $t=\lg x$ это равенство принимает вид $10^{t^2}=10^1$. Значит, $t^2=1$, откуда $x=10$ или $x=0,1$.

Ответ: а) $-2-\sqrt{10}$; б) 100, 0,1; в) 2; г) 10, 0,1.

9. Решите уравнение: а) \(9^{\log_3(1-2x)}=5x^2-5\); б) \(x^{\lg x}=100x\); в) \(\log_4 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt2}2}\); г) \(x^{1+\lg x}=10x\).

Ответ: