10. Решите уравнение: \(\sqrt{2x^2 - 3x + 1} = \sqrt{x^2 - 3x + 2}\)

Решение:

Чтобы решить это иррациональное уравнение, нужно возвести обе части в квадрат и учесть условия неотрицательности подкоренных выражений.

1. Условия неотрицательности (ОДЗ):
• \( 2x^2 - 3x + 1 \ge 0 \). Корни уравнения \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \): \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \). \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1/2 \). Значит, \( x \in (-\infty; 1/2] \cup [1; +\infty) \).
• \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \). \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 1 \). Значит, \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).
• Объединяем ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1/2] \cup [2; +\infty) \).
2. Решаем уравнение, возводя обе части в квадрат:
• \( 2x^2 - 3x + 1 = x^2 - 3x + 2 \).
• Переносим все члены в одну сторону: \( 2x^2 - x^2 - 3x + 3x + 1 - 2 = 0 \).
• \( x^2 - 1 = 0 \).
• \( x^2 = 1 \).
• \( x = \pm 1 \).
3. Проверяем полученные корни на соответствие ОДЗ:
• Корень \( x = 1 \): Не входит в ОДЗ \( x \in (-\infty; 1/2] \cup [2; +\infty) \) (потому что \( x \neq 1 \) для второго подкоренного выражения, чтобы оно было строго больше 0, а в случае \( x=1 \) мы имеем \( 1^2-3(1)+2=0 \) и \( 2(1)^2-3(1)+1=0 \)).
• Корень \( x = -1 \): Входит в ОДЗ \( x
  (-\infty; 1/2] \cup [2; +\infty) \), так как \( -1 \le 1/2 \).

Ответ: x = -1.