10. Решите задачу: В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвертом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Эта задача также связана с арифметической прогрессией.

Известно:

• Количество рядов: \( N = 16 \)
• \( a_4 = 23 \) (мест в 4-м ряду)
• \( a_8 = 35 \) (мест в 8-м ряду)

Нужно найти \( a_{16} \) (мест в последнем, 16-м ряду).

Сначала найдём разность прогрессии \( d \). Воспользуемся формулой n-го члена: \( a_n = a_m + (n - m)d \).

Используем данные для 4-го и 8-го рядов:

\[ a_8 = a_4 + (8 - 4)d \]

\[ 35 = 23 + 4d \]

\[ 35 - 23 = 4d \]

\[ 12 = 4d \]

\[ d = \frac{12}{4} = 3 \)

Теперь, зная разность \( d = 3 \), найдём первый член прогрессии \( a_1 \) (или используем \( a_4 \) или \( a_8 \) для нахождения \( a_{16} \)).
Найдём \( a_1 \) через \( a_4 \): \( a_4 = a_1 + (4-1)d \)
\[ 23 = a_1 + 3 \cdot 3 \]
\[ 23 = a_1 + 9 \]
\[ a_1 = 23 - 9 = 14 \)

Теперь найдём количество мест в последнем, 16-м ряду, используя \( a_1 \) и \( d \):

\[ a_{16} = a_1 + (16 - 1)d \]

\[ a_{16} = 14 + 15 \cdot 3 \]

\[ a_{16} = 14 + 45 \]

\[ a_{16} = 59 \)

Альтернативный способ:
Можно найти \( a_{16} \) напрямую из \( a_8 \) и \( d \):

\[ a_{16} = a_8 + (16 - 8)d \]

\[ a_{16} = 35 + 8 \cdot 3 \]

\[ a_{16} = 35 + 24 \]

\[ a_{16} = 59 \)

Ответ: В последнем ряду амфитеатра 59 мест.