№ 10. Сколько вариантов экзаменационных билетов можно составить, выбирая из 20 заданий три?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, так как порядок выбора заданий в билете не имеет значения.

Формула сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов.

В данном случае \( n = 20 \) (всего заданий) и \( k = 3 \) (заданий в билете).

\( C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} \).

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{3 \times 2 \times 1 \times 17!} \).

Сокращаем \( 17! \):

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} \).

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} \).

\( C_{20}^3 = 20 \times 19 \times 3 \).

\( C_{20}^3 = 380 \times 3 \).

\( C_{20}^3 = 1140 \).

Ответ: 1140 вариантов.