№ 14. Решите уравнение: 6cos^2 x + 7sin x - 7 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
2. Подставим его в уравнение: \( 6(1 - \sin^2 x) + 7\sin x - 7 = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 6 - 6\sin^2 x + 7\sin x - 7 = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( -6\sin^2 x + 7\sin x - 1 = 0 \).
5. Умножим на -1 для удобства: \( 6\sin^2 x - 7\sin x + 1 = 0 \).
6. Сделаем замену: пусть \( t = \sin x \). Тогда \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
8. \( t_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \).
9. \( t_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
10. Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \).
11. Случай 1: \( \sin x = 1 \). Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
12. Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{6} \). Общее решение: \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( k, m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k \), \( x = \pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi m \), где \( n, k, m \in \mathbb{Z} \).