10. Свободно падающее тело за последнюю секунду проходит половину своего пути. Определите время и высоту падения.

Пусть время падения равно \(T\). Весь путь:

\[H=\frac{gT^2}{2}.\]

Путь за последнюю секунду:

\[H_{\text{посл}}=\frac g2\left[T^2-(T-1)^2\right].\]

По условию \(H_{\text{посл}}=H/2\):

\[T^2-(T-1)^2=\frac{T^2}{2}.\]

Принимая \(g=10\) м/с², получаем:

\[T^2-4T+2=0,\qquad T=2+\sqrt2\approx3.41\text{ с}.\]

Высота:

\[H=5T^2=5(2+\sqrt2)^2\approx58.3\text{ м}.\]

Ответ: время падения примерно 3,4 с; высота примерно 58 м.