Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: №10. В кубе ABCDABCD₁ найдите угол между прямыми АВи А₁С.Фото задания

Ответ:

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \).

  1. Прямая AB лежит в нижнем основании куба.
  2. Прямая A₁C — это диагональ куба.
  3. Чтобы найти угол между этими прямыми, нужно привести их к одной точке пересечения. Для этого проведём через точку A прямую, параллельную A₁C. Это будет диагональ AC₁.
  4. Теперь ищем угол между AB и AC₁.
  5. Рассмотрим треугольник ABC₁.
  6. AB = \( a \) (ребро куба).
  7. AC₁ — диагональ грани AA₁C₁C. AC₁ = \( \cdot \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \).
  8. BC₁ — диагональ грани BB₁C₁C. BC₁ = \( \cdot \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \).
  9. Треугольник ABC₁ — равнобедренный.
  10. Чтобы найти угол между AB и AC₁, можно использовать теорему косинусов в треугольнике ABC₁ или найти косинус угла наклона прямой AC₁ к плоскости основания, а затем использовать тригонометрические соотношения.
  11. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 90°. AC = \( a\sqrt{2} \).
  12. Рассмотрим треугольник ACC₁. Угол ACC₁ = 90°. AC₁ = \( a\sqrt{3} \).
  13. Пусть угол между AB и A₁C равен \( \alpha \).
  14. Переместим прямую A₁C так, чтобы она проходила через вершину A. Для этого проведём через A₁ прямую, параллельную A₁C, которая будет являться диагональю грани AA₁C₁C, то есть AC₁.
  15. Теперь найдём угол между AB и AC₁.
  16. Рассмотрим треугольник ABC₁.
  17. AB = \( a \).
  18. BC₁ = \( a\sqrt{2} \) (диагональ грани).
  19. AC₁ = \( a\sqrt{3} \) (диагональ куба).
  20. Используем теорему косинусов для треугольника ABC₁:
  21. \( BC_1^2 = AB^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AC_1 \cdot \cos(\angle BAC_1) \)
  22. \( (a\sqrt{2})^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC_1) \)
  23. \( 2a^2 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\cdot\cdot\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC_1) \)
  24. \( 2a^2 = 4a^2 - 2a^2\cdot\cdot\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC_1) \)
  25. \( 2a^2\cdot\cdot\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC_1) = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2 \)
  26. \( \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC_1) = 1 \)
  27. \( \cos(\angle BAC_1) = \frac{1}{\cdot \sqrt{3}} \)
  28. \( \angle BAC_1 = \arccos(\frac{1}{\cdot \sqrt{3}}) \).
  29. Угол между прямыми AB и A₁C равен углу между AB и AC₁, который мы нашли.
  30. Приближенное значение \( \cdot \sqrt{3} \approx 1.732 \). \( \frac{1}{1.732} \approx 0.577 \). \( \arccos(0.577) \approx 54.7^{\circ} \).

Ответ: \( \arccos(\frac{1}{\cdot \sqrt{3}}) \) (примерно 54.7°).