10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке K, AK = 2, KB = 6, DK = 3. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

1. **Применим теорему о пересекающихся хордах:** Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \) 2. **Найдем длину CK:** Подставим известные значения: \( 2 \cdot 6 = CK \cdot 3 \) \( 12 = 3 \cdot CK \) \( CK = \frac{12}{3} = 4 \) 3. **Найдем середины хорд AB и CD:** Пусть M - середина AB и N - середина CD. Координаты точки M можно найти, как \( \frac{AK+KB}{2}\), что равно \( \frac{2+6}{2} = 4 \). Координаты точки N можно найти, как \( \frac{DK+CK}{2}\), что равно \( \frac{3+4}{2} = 3.5 \). Тогда \( AM = MB = \frac{2+6}{2} = 4 \) и \( CN = ND = \frac{3+4}{2} = 3.5 \). Поскольку хорды перпендикулярны, то по теореме Пифагора квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов отрезков от центра до точки пересечения хорд. 4. **Найдем радиус окружности:** Пусть O - центр окружности, а R - её радиус. Нам известно, что \( OM = |AM - AK| = |4 - 2| = 2 \) и \( ON = |CN - DK| = |3.5 - 3| = 0.5 \). Так как хорды перпендикулярны, то треугольник MON прямоугольный. Тогда \( OK^2 = OM^2 + ON^2 \), где \( OK^2 = 2^2 + 0.5^2 = 4 + 0.25 = 4.25 \). По теореме о пересекающихся хордах \( R^2 = OM^2 + AM^2 = ON^2 + CN^2 = OK^2 + AK \cdot KB \). Подставим \( R^2 = 4.25 + 2 * 6 = 4.25 + 12 = 16.25\) \(R = \sqrt{16.25} \) 5. **Найдем площадь круга:** Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^2 \) \( S = \pi \cdot 16.25 = 16.25 \pi \) **Ответ:** Площадь круга равна \(16.25\pi\).