10. В основании пирамиды STZE лежит правильный треугольник TZE со стороной 2, а боковое ребро ST перпендикулярно основанию и равно 3√3. Найдите объём пирамиды STZE.

Дано:

• Пирамида STZE
• Основание: правильный треугольник TZE
• Сторона основания, a = 2
• Боковое ребро ST = 3√3
• ST ⊥ основание

Найти:

• Объём пирамиды, V

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h \]

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды.

По условию, боковое ребро ST перпендикулярно основанию. Это значит, что ST является высотой пирамиды. Таким образом, h = ST = 3√3.

Основание пирамиды — правильный треугольник TZE со стороной a = 2. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Подставим значение стороны основания a = 2:

\[ S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]

Теперь подставим площадь основания и высоту пирамиды в формулу объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \times (\sqrt{3}) \times (3 \sqrt{3}) \]

\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \]

\[ V = 1 \times 3 \]

\[ V = 3 \]

Ответ: 3