Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC, \( ∠C = 90^\circ \). Катет \( AC = 5 \), высота \( CH = 2\sqrt{6} \). Нужно найти \( \sin∠ABC \).
В прямоугольном треугольнике ABC:
\[ ∠ABC + ∠BAC = 90^\circ \]В прямоугольном треугольнике CHB:
\[ ∠HBC + ∠BCH = 90^\circ \]Так как \( ∠HBC = ∠ABC \), то \( ∠BCH = 90^\circ - ∠ABC \).
В прямоугольном треугольнике AHC:
\[ ∠HAC + ∠ACH = 90^\circ \]Так как \( ∠HAC = ∠BAC \), то \( ∠ACH = 90^\circ - ∠BAC \>.
Из \( ∠ABC + ∠BAC = 90^\circ \) следует \( ∠BAC = 90^\circ - ∠ABC \).
Тогда \( ∠ACH = 90^\circ - (90^\circ - ∠ABC) = ∠ABC \>.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Мы знаем катет \( AC = 5 \) и высоту \( CH = 2\sqrt{6} \). Мы можем найти синус угла \( ∠CAH \) (который равен \( ∠BAC \)), но это не поможет напрямую найти \( \sin∠ABC \).
Рассмотрим отношение площадей треугольников.
Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
- \( S_{ABC} = \frac{1}{2} ∕ AC ∕ BC \)
- \( S_{ABC} = \frac{1}{2} ∕ AB ∕ CH \)
Также, в прямоугольном треугольнике ABC:
\[ AC^2 = AH ∕ AB \] и \[ BC^2 = BH ∕ AB \]Мы знаем, что \( \sin∠ABC = \frac{AC}{AB} \). Если мы найдем \( AB \), то сможем найти \( \sin∠ABC \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора:
\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]\( AH^2 + (2\sqrt{6})^2 = 5^2 \)
\( AH^2 + 4 \times 6 = 25 \)
\( AH^2 + 24 = 25 \)
\( AH^2 = 1 \) \( ⇒ AH = 1 \).
Теперь, зная \( AH \) и \( AC \), мы можем найти \( AB \):
\[ AC^2 = AH ∕ AB \]\( 5^2 = 1 ∕ AB \)
\( 25 = AB \)
Теперь мы можем найти \( \sin∠ABC \):
\[ \sin∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]Ответ: \( \sin∠ABC = \frac{1}{5} \).
