10. В прямоугольную трапецию с основаниями 4 и 8 вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота, \( c_1 \) и \( c_2 \) — боковые стороны.

По условию, \( a = 4 \) и \( b = 8 \). В прямоугольную трапецию вписана окружность. Это означает, что сумма противоположных сторон равна. В частности, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, и значит, высота равна полусумме оснований, если это равнобедренная трапеция. Но здесь она прямоугольная.

Для прямоугольной трапеции, если в нее вписана окружность, то высота \( h \) равна меньшему основанию, если одно из оснований не перпендикулярно боковой стороне. В данном случае, одно из оснований является высотой. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2r \).

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и эта сторона равна высоте. Следовательно, \( h = a = 4 \).

Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции, поэтому \( 2r = h = 4 \), откуда \( r = 2 \).

Площадь трапеции находится по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4 \]

\[ S = \frac{12}{2} \cdot 4 \]

\[ S = 6 \cdot 4 \]

\[ S = 24 \]

Ответ: 24.