6. Треугольник АВС — прямоугольный (∠C = 90°), AC = 4 см, проекция катета ВС на гипотенузу равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника АВС.

Решение:

Пусть \( C \) — вершина прямого угла. \( AC = 4 \) см — один катет. \( BC \) — другой катет. \( AB \) — гипотенуза. Пусть \( H \) — проекция вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \). Тогда \( AH \) — проекция катета \( AC \) на гипотенузу, а \( BH \) — проекция катета \( BC \) на гипотенузу. По условию, \( BH = 6 \) см.

В прямоугольном треугольнике справедливо соотношение:

\[ BC^2 = BH \cdot AB \]

Также, по теореме Пифагора для \( \triangle ABC \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим \( BC^2 \) из первого уравнения во второе:

\[ AB^2 = AC^2 + BH \cdot AB \]

Подставим известные значения \( AC = 4 \) и \( BH = 6 \):

\[ AB^2 = 4^2 + 6 \cdot AB \]

\[ AB^2 = 16 + 6AB \]

Перенесем всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( AB \):

\[ AB^2 - 6AB - 16 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \]

Найдем корни:

\[ AB_1 = \frac{-(-6) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ AB_2 = \frac{-(-6) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Так как длина гипотенузы не может быть отрицательной, то \( AB = 8 \) см.

Ответ: 8 см.