9. Определите количество целых решений неравенства \( \frac{(-x^2-x+6)x^2}{x^2-x-2} \ge 0 \).

Решение:

Данное неравенство: \( \frac{(-x^2-x+6)x^2}{x^2-x-2} \ge 0 \).

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( -x^2-x+6 = -(x^2+x-6) \). Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2+x-6=0 \). По теореме Виета, \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -3 \). Значит, \( x^2+x-6 = (x-2)(x+3) \). Тогда числитель равен \( -(x-2)(x+3)x^2 = (2-x)(x+3)x^2 \).

Знаменатель: \( x^2-x-2 \). Найдем корни \( x^2-x-2=0 \). По теореме Виета, \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \). Значит, \( x^2-x-2 = (x-2)(x+1) \).

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{(2-x)(x+3)x^2}{(x-2)(x+1)} \ge 0 \]

Заметим, что \( (2-x) = -(x-2) \).

\[ \frac{-(x-2)(x+3)x^2}{(x-2)(x+1)} \ge 0 \]

Если \( x=2 \), то знаменатель обращается в ноль, поэтому \( x \neq 2 \).

Если \( x \neq 2 \), можем сократить \( (x-2) \):

\[ \frac{-(x+3)x^2}{(x+1)} \ge 0 \]

Умножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства:

\[ \frac{(x+3)x^2}{(x+1)} \le 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя, а также учтем, где они обращаются в ноль. Точки, где знаменатель обращается в ноль, — это \( x = -1 \). Точки, где числитель обращается в ноль, — это \( x = -3 \) и \( x = 0 \). Особо отметим, что \( x=0 \) — корень четной кратности (из-за \( x^2 \)), поэтому знак выражения при переходе через \( x=0 \) не меняется.

Рассмотрим интервалы на числовой прямой:

\[ (-\infty, -3] \quad [-3, -1) \quad (-1, 0] \quad [0, \infty) \]

Расставим знаки выражения \( \frac{(x+3)x^2}{(x+1)} \) на этих интервалах:

• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{(-4+3)(-4)^2}{(-4+1)} = \frac{(-1)(16)}{(-3)} = \frac{-16}{-3} > 0 \).
• При \( -3 < x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( \frac{(-2+3)(-2)^2}{(-2+1)} = \frac{(1)(4)}{(-1)} = -4 < 0 \).
• При \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( \frac{(-0.5+3)(-0.5)^2}{(-0.5+1)} = \frac{(2.5)(0.25)}{(0.5)} > 0 \).
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{(1+3)(1)^2}{(1+1)} = \frac{(4)(1)}{(2)} > 0 \).

Нам нужно \( \frac{(x+3)x^2}{(x+1)} \le 0 \). Это происходит на интервале \( [-3, -1) \).

Теперь вспомним, что мы сократили \( (x-2) \) при условии \( x \neq 2 \). Число 2 не входит в интервал \( [-3, -1) \).

Также, мы имели неравенство \( \ge 0 \) изначально, но после умножения на -1 оно стало \( \le 0 \). Значит, мы ищем интервалы, где выражение отрицательное или равно нулю.

Знаменатель \( x+1 \) не может быть равен нулю, значит \( x \neq -1 \).

Числитель \( (x+3)x^2 \) может быть равен нулю. \( x = -3 \) или \( x = 0 \).

Исходя из знаков, нам подходит интервал \( [-3, -1) \).

В этот интервал входят целые числа: \( -3, -2 \).

Если \( x = 0 \), то исходное выражение равно \( \frac{(-0-0+6)(0)^2}{(0-0-2)} = \frac{0}{-2} = 0 \), что удовлетворяет условию \( \ge 0 \).

Поэтому, мы должны также включить \( x=0 \) в решения.

Целые решения: -3, -2, 0.

Всего 3 целых решения.

Ответ: 3.