№10. В треугольнике АВС проведена иссектриса AL, угол ALB равен 102°, угол АСВ равен 52°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle ALB \). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle BAL + \angle ALB + \angle ABL = 180^{\circ} \)

\( \angle BAL + 102^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ} \)

\( \angle BAL + \angle ABC = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \)

Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов равна 180°.

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle BAC \) — это \( \angle BAL + \angle LAC \). Но нам \( \angle BAC \) неизвестен, а \( \angle LAC \) тоже неизвестен.

Однако, \( AL \) — биссектриса, значит, \( \angle BAL = \angle LAC \).

Пусть \( \angle BAL = \angle LAC = x \). Тогда \( \angle BAC = 2x \).

Из \( \triangle ABC \):

\( 2x + \angle ABC + 52^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2x + \angle ABC = 128^{\circ} \)

Мы имеем два уравнения:

1. \( x + \angle ABC = 78^{\circ} \)
2. \( 2x + \angle ABC = 128^{\circ} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (2x + \angle ABC) - (x + \angle ABC) = 128^{\circ} - 78^{\circ} \)

\( x = 50^{\circ} \).

Теперь подставим \( x=50^{\circ} \) в первое уравнение:

\( 50^{\circ} + \angle ABC = 78^{\circ} \)

\( \angle ABC = 78^{\circ} - 50^{\circ} = 28^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABC = 28^{\circ} \).