10. Внутри угла B, равного 60°, взята точка K. Расстояния от точки K до сторон угла равны 2 см и 3 см. Найдите расстояние от точки K до вершины угла B.

Опустим из K перпендикуляры к сторонам угла; их длины равны 2 см и 3 см. Пусть расстояние от K до вершины B равно \(r\). Расстояния до сторон равны \(r\sin\alpha\) и \(r\sin(60^\circ-\alpha)\), где \(0<\alpha<60^\circ\).

Их сумма равна \(r\bigl(\sin\alpha+\sin(60^\circ-\alpha)\bigr)\). При \(0<\alpha<60^\circ\) эта сумма множителей не превосходит 1, поскольку \(\sin u+\sin(60^\circ-u)=\cos(u-30^\circ)\le1\). Значит, сумма расстояний до сторон не превосходит \(r\).

Следовательно, \(r\ge2+3=5\) см. Равенство достигается, когда точка лежит на биссектрисе, но тогда расстояния до сторон равны, что противоречит их значениям 2 см и 3 см. Более того, при неизвестном положении точки точное расстояние не определяется однозначно.

Ответ: данных недостаточно для нахождения единственного расстояния; оно больше 5 см.