10. Вычислите интеграл: ∫(x³ – x + 1)dx от 1 до 4.

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_{1}^{4} (x^3 - x + 1) dx \).

1. Найдем первообразную функции \( f(x) = x^3 - x + 1 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\( F(x) = \int (x^3 - x + 1) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{0+1}}{0+1} + C \)

\( F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x + C \)

Для определённого интеграла константу \( C \) можно отбросить.

2. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования и найдем разность.

\( \int_{1}^{4} (x^3 - x + 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{1}^{4} \)

\( = \left( \frac{4^4}{4} - \frac{4^2}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} + 1 \right) \)

\( = \left( \frac{256}{4} - \frac{16}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 \right) \)

\( = (64 - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4}) \)

\( = 60 - \frac{3}{4} \)

\( = \frac{240}{4} - \frac{3}{4} = \frac{237}{4} \)

Ответ: \( \frac{237}{4} \)