6. Решить уравнение: log2(x² + 7x - 5) = log2(4x – 1).

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2(x^2 + 7x - 5) = \log_2(4x - 1) \) приравняем аргументы логарифмов, учитывая условия их существования.

Условия существования логарифмов:

1. \( x^2 + 7x - 5 > 0 \)

2. \( 4x - 1 > 0 to x > \frac{1}{4} \)

Приравниваем аргументы:

\( x^2 + 7x - 5 = 4x - 1 \)

\( x^2 + 7x - 4x - 5 + 1 = 0 \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Проверим условия существования логарифмов:

Для \( x_1 = 1 \):

\( 1^2 + 7(1) - 5 = 1 + 7 - 5 = 3 > 0 \)

\( 4(1) - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \)

\( x_1 = 1 \) удовлетворяет условиям.

Для \( x_2 = -4 \):

\( 4(-4) - 1 = -16 - 1 = -17 \). Это значение меньше 0, поэтому \( x_2 = -4 \) не является решением.

Ответ: 1