5. Найдите значение tg a, если известно, что cos a = 1/7 и a ∈ I четверти.

Решение:

Известно, что \( \cos \alpha = \frac{1}{7} \) и \( \alpha \) принадлежит первой четверти.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{49 - 1}{49} = \frac{48}{49} \)

Так как \( \alpha \) в первой четверти, \( \sin \alpha > 0 \).

\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \)

Теперь найдём \( \operatorname{tg} \alpha \):

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \cdot 7 = 4\sqrt{3} \)

Ответ: \( 4\sqrt{3} \)