8. Решить иррациональное уравнение: √x² - 8 = √-2x

Решение:

Чтобы решить иррациональное уравнение \( \sqrt{x^2 - 8} = \sqrt{-2x} \), необходимо:

1. Возвести обе части уравнения в квадрат.
2. Учесть условия существования корней:

\( x^2 - 8 \ge 0 \) и \( -2x \ge 0 \).

Из \( -2x \ge 0 \) следует \( x \le 0 \).

Возведем обе части в квадрат:

\( x^2 - 8 = -2x \)

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь проверим условия существования корней:

Для \( x_1 = 2 \):

\( x \le 0 \) не выполняется, так как \( 2 > 0 \).

Для \( x_2 = -4 \):

\( -4 \le 0 \) (верно)

\( (-4)^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \ge 0 \) (верно)

\( -2(-4) = 8 \ge 0 \) (верно)

Таким образом, \( x = -4 \) является решением.

Ответ: -4