10. Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение: а) √x = x² + 1; б) √(x + 1) = x³

а) Рассматриваем графики функций y = √x и y = x² + 1 при x ≥ 0. Для любого x ≥ 0 выполняется √x < x² + 1: при 0 ≤ x ≤ 1 левая часть не больше 1, а правая не меньше 1; при x > 1 правая часть больше x, а √x < x. Графики не пересекаются. Корней нет.

б) Для x < 0 правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому решений нет. При x ≥ 0 уравнение равносильно x⁶ − x − 1 = 0. Функция x⁶ − x − 1 сначала убывает, затем возрастает и имеет ровно один положительный корень; графики пересекаются один раз. Пересечение примерно при x ≈ 1,1347.

Ответ: а) 0 корней; б) 1 корень.