10. y^IV - 16y = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^4 - 16 = 0 \]

Разложим на множители:

\[ (r^2 - 4)(r^2 + 4) = 0 \]

Таким образом, имеем два случая:

1. \( r^2 - 4 = 0 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2 \)


2. \( r^2 + 4 = 0 \implies r^2 = -4 \implies r = \pm 2i \)

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos(2x) + C_4 \sin(2x) \]

Ответ: y(x) = C₁e^2x + C₂e^-2x + C₃ cos(2x) + C₄ sin(2x).