9. y^V - 6y^IV + 9y''' = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением пятого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^5 - 6r^4 + 9r^3 = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ r^3(r^2 - 6r + 9) = 0 \]

Разложим квадратный трехчлен:

\[ r^3(r-3)^2 = 0 \]

Корни характеристического уравнения:

\[ r_1 = 0 \text{ (кратности 3)}, \quad r_2 = 3 \text{ (кратности 2)} \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = C_1 + C_2x + C_3x^2 + C_4e^{3x} + C_5xe^{3x} \]

Ответ: y(x) = C₁ + C₂x + C₃x² + C₄e^3x + C₅xe^3x.