3. y"-4y'-5y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^2 - 4r - 5 = 0 \]

Разложим на множители:

\[ (r-5)(r+1) = 0 \]

Корни характеристического уравнения:

\[ r_1 = 5, \quad r_2 = -1 \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-x} \]

Найдем производную:

\[ y'(x) = 5C_1 e^{5x} - C_2 e^{-x} \]

Используем начальные условия:

\[ y(0) = C_1 + C_2 = 1 \]

y'(0) = 5C_1 - C_2 = 2 \]

Сложим два уравнения:

\[ 6C_1 = 3 \implies C_1 = \frac{1}{2} \]

Подставим \( C_1 \) в первое уравнение:

\[ \frac{1}{2} + C_2 = 1 \implies C_2 = \frac{1}{2} \]

Частное решение:

\[ y(x) = \frac{1}{2} e^{5x} + \frac{1}{2} e^{-x} \]

Ответ: y(x) = ⅛e^5x + ⅛e^-x.