4. y" - 1/2 y' + 1/16 y = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^2 - \frac{1}{2}r + \frac{1}{16} = 0 \]

Умножим на 16:

\[ 16r^2 - 8r + 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один кратный корень:

\[ r = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{\frac{1}{4}x} \]

Ответ: y(x) = (C₁ + C₂x)e^⅛x.