5. y" + 6y = 0

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:

\[ r^2 + 6 = 0 \]

Корни характеристического уравнения:

\[ r^2 = -6 \implies r = \pm \sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6} \]

Общее решение имеет вид:

\[ y(x) = C_1 \cos(\sqrt{6}x) + C_2 \sin(\sqrt{6}x) \]

Ответ: y(x) = C₁ cos(√6x) + C₂ sin(√6x).